uses wininet;
...
procedure TForm1.BitBtn1Click(Sender: TObject);
var F: File;
     ResumePos,BufferLen,SumSize: DWORD;
     hSession, hURL: HInternet;
     Buffer: array[1..1024] of Byte;
     err: boolean;

begin
SumSize:=0; ResumePos:=0;   //Инициализируемся
AssignFile (F,Edit2.Text);  //Свяжемся с файлом
IF FileExists (Edit2.Text) then //Есть ли на диске этот файл
   begin
    Reset(f,1); //Ах, есть? Откроем!
    ResumePos:=FileSize(F); //Откуда докачать
    Seek(F, FileSize(F)); //А писать бум в конец
   end else ReWrite(f,1);  //А раз нет, так создадим

NADO:= TRUE; //Надо качать...
//Открыли сессию
hSession:= InternetOpen('X-Kachalka',PRE_CONFIG_INTERNET_ACCESS,nil,nil,0);
//И наш УРЛ
hURL := InternetOpenURL(hSession,PChar(Edit1.Text),nil,0,0,0);
//Сколько там наш файл весит?
InternetQueryDataAvailable(hURL, SumSize,0,0);
label4.Caption:= IntToStr (SumSize); //Сообщим об этом
if ResumePos>0 then //Если докачиваем,
  begin
  InternetSetFilePointer(hURL,ResumePos,nil,0,0); //То сместимся
  end;

REPEAT //Качаем
  err:= InternetReadFile(hURL, @Buffer,SizeOf(Buffer),BufferLen); //Читаем буфер
  IF err= false then //Ошибка чтения
   begin
   ShowMessage ('Произошел облом :('); //Сообщим и выходим
   exit;
   end;
  BlockWrite(f, Buffer, BufferLen); //Пишем в файл
  Application.Processmessages;
UNTIL (BufferLen= 0) Or (NADO= FALSE); //Качаем, пока не все или надо
ShowMessage ('Успешно загружено!');
end;